正整数 $N\text{,}{{N}^{2}}$ 在十进制下末四位均为 $abcd$，其中 $a\ne 0$ 。求三位数 $abc$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
937
【解析】
${{N}^{2}}-N\text{=}N\left(N-1 \right)\equiv 0\left( \bmod 10000 \right)$ 。所以 $\left. {{2}^{4}}\right|N\left( N-1 \right)\text{,}\left. {{5}^{4}} \right|N\left( N-1 \right)$ 。因为 $\left(N,N-1 \right)=1$，所以 $N\text{,}N-1$ 其中一个是 $16$ 的倍数，另一个是 $625$ 的倍数。若 $N$ 是 $625$ 的倍数，$625\equiv1\left( \bmod 16 \right)$，而此时千位数为 $0$ 不满足条件。另一种情况 $N-1$ 是 $625$ 的倍数，则 $N-1\equiv -1\left( \bmod 16\right)$ 。 $15*625\text{=}9375\equiv -1\left( \bmod 16 \right)$ 。因此 $N-1\text{=}9375\text{,}N\text{=}9376$ 。所求值为 $937$
答案
解析
备注
