正方形 $\square ABCD$ 中，$E,F,G,H$ 分别在 $AB,BC,CD,DA$ 上，使得 $EG\text{,}FH$ 互相垂直且 $EG=FH=34$ 。 $EG,FH$ 相交于 $P$，四边形 $AEPH,BFPE,CGPF,DHPG$ 面积之比为 $269\text{:275:405:411}$ 。求正方形 $\square ABCD$ 的面积
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
850
【解析】
注意到 $269+411\text{=}275+405$，则 $EG$ 经过正方形的中心。作 $IJ\parallel HF$，其中 $I$ 在 $AD$ 上，$J$ 在 $BC$ 上且 $IJ,EG$ 交点为正方形中心 $O$ 。设正方形面积为 $1360a$，$\left[ \bullet \right]$ 表示面积，则 $\left[ HPOI \right]=71a,\left[FPOJ \right]=65a$ 。设正方形边长为 $d\text{=}\sqrt{1360a}$ 。作 $OK\parallel HI$，其中 $K$ 在 $HF$ 上。 $OK\text{=}d\cdot\frac{\left[ HFJI \right]}{\left[ ABCD \right]}\text{=}\frac{d}{10}$ 。 $\left[ HKOI \right]\text{=}\frac{1}{2}\cdot \left[ HFJI\right]\text{=}68a$，$\left[ POK \right]\text{=}3a$ 。设 $PO\text{=}h$，则 $KP\text{=}\frac{6a}{h}$ 。考虑 $\left[PFJO \right]\text{=}\frac{1}{2}\left( PF+OJ \right)\cdot PO=65a\to \left(17-\frac{3a}{h} \right)h\text{=}65a\to h\text{=}4a$ 。则 $KP\text{=}1.5$ 。由 ${{\left(4a \right)}^{2}}+{{1.5}^{2}}\text{=}{{\left( \frac{d}{10}\right)}^{2}}\text{=}13.6a$ 得到 $a\text{=}\frac{5}{8}$ 。因此 $\left[ ABCD\right]\text{=}1360a\text{=}850$
答案
解析
备注
