已知无限循环小数 $0.\overline{ab}$ 与 $0.\overline{abc}$ 满足 $0.\overline{ab}+0.\overline{abc}\text{=}\frac{33}{37}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c$（有可能相同）是 $0\text{ }\!\!\tilde{ }\!\!\text{ }9$ 的数字。求三位数 $abc$ 的值
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
447
【解析】
$0.\overline{ab}\text{=}\frac{10a+b}{99}\text{,}0.\overline{abc}\text{=}\frac{100a+10b+c}{999}$ 。代入原式，$\frac{10a+b}{99}+\frac{100a+10b+c}{999}\text{=}\frac{33}{37}$ 。则 $9990a+999b+9900a+900b+99c\text{=}33\cdot3\cdot 9\cdot 99$，化简得 $2210a+221b+11c\text{=}{{99}^{2}}\text{=}9801$ 等式两边同时模 $221$ 得，$11c\equiv 77\left( \bmod 221 \right)\Rightarrow c\equiv 7\left( \bmod 221\right)$ 。因为 $c$ 为数字，所以 $c\text{=}7$ 。代回之前等式化简可得 $10a+b\text{=}44$ 。因为 $a\text{,}b$ 均为数字，所以 $a\text{=}b\text{=}4$ 。所以所求三位数为 $447$
答案
解析
备注
