在 $\Delta RED$ 中，$RD=1,\angle DRE={{75}^{{}^\circ }},\angle RED={{45}^{{}^\circ }}$ 。设点 $M$ 是线段 $RD$ 的中点，点 $C$ 在边 $ED$ 上，且 $RC,EM$ 互相垂直，延长 $DE$ 到点 $A$，使得 $CA=AR$，若 $AE=\frac{a-\sqrt{b}}{c}$，其中 $a\text{,}c$ 是互质的正整数，$b$ 是正整数，求 $a+b+c$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
056
【解析】
过 $A$ 作 $CR$ 的垂线，垂足记为 $P$，则 $AP\parallel EM$ 。因为 $\Delta ARC$ 是等腰三角形，$P$ 为 $CR$ 中点，则 $PM\parallel CD$ 。于是 $APME$ 是平行四边形，$AE=PM=\frac{CD}{2}$ 。我们下面建立直角坐标系，设 $O$ 为过 $R$ 的高的垂足，并令 $O$ 为原点。因为 $DO=\frac{1}{2}EO=RO=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $D\left(\frac{1}{2}\text{,}0 \right)\text{,}E\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}0\right)\text{,}R\left( 0\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 。 $M\text{=}\frac{1}{2}\left(D,R \right)\text{=}\left( \frac{1}{4}\text{,}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\text{,}{{k}_{ME}}\text{=}\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\text{=}\frac{\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}$，因为 $ME,RC$ 垂直，所以 ${{k}_{RC}}=-\frac{1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。设 $CO\text{=}x$，$x\text{=}\frac{\frac{3}{2}}{1+2\sqrt{3}}\text{=}\frac{6\sqrt{3}-3}{22}$，$DC\text{=}\frac{1}{2}-x\text{=}\frac{1}{2}-\frac{6\sqrt{3}-3}{22}\text{=}\frac{14-6\sqrt{3}}{22}\text{,}AE\frac{7-\sqrt{27}}{22}$，故所求答案为 $056$
答案
解析
备注
