有 $10$ 个大人进去一个房间，脱下他们的鞋，扔成一堆，过了一会儿，进来一个小孩，随即把左脚的鞋与右脚的鞋配成一双，在配对过程中，不考虑这两只鞋是否是原来的一双。从小孩配对的 $10$ 双鞋中，对小于 $5$ 的一切正整数 $k$，不存在 $k$ 双鞋恰好是其中 $k$ 个人的鞋。这种情况发生的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 的值
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
028
【解析】
设集合 $M\text{=}\left\{1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right\}\left( n\geqslant 2 \right)$，定义 $f:M\to M$，使得对于 $1\text{,}2\text{,}\cdots n$ 的任何一个排列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots {{a}_{n}}$，$f\left({{a}_{i}} \right)\text{=}{{a}_{i+1}}\left( i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots\text{,}n-1 \right)\text{,}f\left( {{a}_{n}} \right)\text{=}{{a}_{1}}$ 。称这种对应为“$n$ 环对应”。可知满足条件的“$n$ 环对应”$f$ 有 $\left( n-1\right)\text{!}$ 种。记 $10$ 双鞋中左脚为 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}10$，对应的 $g\left(1 \right)\text{,}g\left( 2 \right)\text{,}\cdots \text{,}g\left( 10 \right)$ 。其中 $g$ 为 $M$ 到自身的一一对应。于是满足条件的配对方法有两类：
1．满足“$10$ 环对应”，有 $9\text{!}$ 种
2．满足两个“$5$ 环对应”，有 $\frac{C_{10}^{5}}{2}\cdot{{\left( 4\text{!} \right)}^{2}}$ 种
总配对方法有 $10\text{!}$ 种，则所求概率为 $\frac{m}{n}\text{=}\frac{9!+\frac{C_{10}^{5}\cdot{{\left( 4! \right)}^{2}}}{2}}{10!}=\frac{3}{25}\text{,}m+n\text{=}028$
1．满足“$10$ 环对应”，有 $9\text{!}$ 种
2．满足两个“$5$ 环对应”，有 $\frac{C_{10}^{5}}{2}\cdot{{\left( 4\text{!} \right)}^{2}}$ 种
总配对方法有 $10\text{!}$ 种，则所求概率为 $\frac{m}{n}\text{=}\frac{9!+\frac{C_{10}^{5}\cdot{{\left( 4! \right)}^{2}}}{2}}{10!}=\frac{3}{25}\text{,}m+n\text{=}028$
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解析
备注
