已知数列 $\{{{a}_{n}}\}$ 是等差数列。证明：
$C_{n}^{0}{{a}_{1}}-C_{n}^{1}{{a}_{2}}+C_{n}^{2}{{a}_{3}}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{a}_{n}}+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}{{a}_{n+1}}=0$
$C_{n}^{0}{{a}_{1}}-C_{n}^{1}{{a}_{2}}+C_{n}^{2}{{a}_{3}}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{a}_{n}}+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}{{a}_{n+1}}=0$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\{{{a}_{n}}\}$ 首项为 ${{a}_{0}}$，公差为 $d$，则 ${{a}_{i}}={{a}_{0}}+id$ 。代入到方程左边
$C_{n}^{0}{{a}_{1}}-C_{n}^{1}{{a}_{2}}+C_{n}^{2}{{a}_{3}}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{a}_{n}}+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}{{a}_{n+1}}$
$=C_{n}^{0}{{a}_{1}}-C_{n}^{1}({{a}_{1}}+d)+C_{n}^{2}({{a}_{1}}+2d)-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}({{a}_{1}}+(n-1)d)+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}({{a}_{1}}+nd)$
$={{a}_{1}}(C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n})+d(-C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}(n-1)+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}n)$ $={{a}_{1}}\cdot0-dn(C_{n-1}^{0}-C_{n-1}^{1}+C_{n-1}^{2}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}C_{n-1}^{n-1})$
$=0$
$C_{n}^{0}{{a}_{1}}-C_{n}^{1}{{a}_{2}}+C_{n}^{2}{{a}_{3}}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{a}_{n}}+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}{{a}_{n+1}}$
$=C_{n}^{0}{{a}_{1}}-C_{n}^{1}({{a}_{1}}+d)+C_{n}^{2}({{a}_{1}}+2d)-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}({{a}_{1}}+(n-1)d)+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}({{a}_{1}}+nd)$
$={{a}_{1}}(C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n})+d(-C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}(n-1)+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}n)$ $={{a}_{1}}\cdot0-dn(C_{n-1}^{0}-C_{n-1}^{1}+C_{n-1}^{2}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}C_{n-1}^{n-1})$
$=0$
答案
解析
备注
