对任何正整数 $n$，求证：
$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{[\tfrac{n-k}{2}]}}=C_{2n+1}^{n}$
其中 $C_{0}^{0}=1$，$\left[ \dfrac{n-k}{2} \right]$ 表示 $\dfrac{n-k}{2}$ 的整数部分。
$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{[\tfrac{n-k}{2}]}}=C_{2n+1}^{n}$
其中 $C_{0}^{0}=1$，$\left[ \dfrac{n-k}{2} \right]$ 表示 $\dfrac{n-k}{2}$ 的整数部分。
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
一方面 $\displaystyle {{(1+x)}^{2n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}{{x}^{k}}}$ 中 ${{x}^{n}}$ 的系数等于 $C_{2n+1}^{n}$，另一方面
${{(1+x)}^{2n+1}}={{(1+2x+{{x}^{2}})}^{n}}(1+x)$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{(2x)}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}\cdot(1+x)}$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}}+\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}}$ ①
当 $n-k$ 为奇数时，$\displaystyle C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{n-k}{C_{n-k}^{i}{{x}^{2i}}}$ 中无 ${{x}^{n}}$ 的项，而
$\displaystyle C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}\sum\limits_{i=0}^{n-k}{C_{n-k}^{i}{{x}^{2i}}}$ 中含 ${{x}^{n}}$ 的项为
$C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}C_{n-k}^{\tfrac{n-k-1}{2}}{{x}^{2\left(\tfrac{n-k-1}{2} \right)}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{\left[ \tfrac{n-k}{2}\right]}{{x}^{n}}$
当 $n-k$ 为偶数时，类似可得 $C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}$ 中含 ${{x}^{n}}$ 的项为
$C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}C_{n-k}^{\tfrac{n-k}{2}}{{x}^{2\left(\tfrac{n-k}{2} \right)}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{\left[ \tfrac{n-k}{2}\right]}{{x}^{n}}$
而 $C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}$ 中无 ${{x}^{n}}$ 的项，
可见 ① 式右端中 ${{x}^{n}}$ 的系数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{[\tfrac{n-k}{2}]}}$，所以 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{[\tfrac{n-k}{2}]}}=C_{2n+1}^{n}$ 。
${{(1+x)}^{2n+1}}={{(1+2x+{{x}^{2}})}^{n}}(1+x)$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{(2x)}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}\cdot(1+x)}$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}}+\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}}$ ①
当 $n-k$ 为奇数时，$\displaystyle C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{n-k}{C_{n-k}^{i}{{x}^{2i}}}$ 中无 ${{x}^{n}}$ 的项，而
$\displaystyle C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}\sum\limits_{i=0}^{n-k}{C_{n-k}^{i}{{x}^{2i}}}$ 中含 ${{x}^{n}}$ 的项为
$C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}C_{n-k}^{\tfrac{n-k-1}{2}}{{x}^{2\left(\tfrac{n-k-1}{2} \right)}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{\left[ \tfrac{n-k}{2}\right]}{{x}^{n}}$
当 $n-k$ 为偶数时，类似可得 $C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}$ 中含 ${{x}^{n}}$ 的项为
$C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}C_{n-k}^{\tfrac{n-k}{2}}{{x}^{2\left(\tfrac{n-k}{2} \right)}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{\left[ \tfrac{n-k}{2}\right]}{{x}^{n}}$
而 $C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k+1}}{{(1+{{x}^{2}})}^{n-k}}$ 中无 ${{x}^{n}}$ 的项，
可见 ① 式右端中 ${{x}^{n}}$ 的系数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{[\tfrac{n-k}{2}]}}$，所以 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}C_{n-k}^{[\tfrac{n-k}{2}]}}=C_{2n+1}^{n}$ 。
答案
解析
备注
