平面上任作8条直线（互不平行），证明：其中必有两条直线的夹角小于23度．
（2）把1到10这10个正整数摆成一个圆圈，证明：一定存在3个相邻的数之和不小于18．
（3）已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合．证明：这个集合必有两个无公共元素的非空子集合，这两个子集合中各数之和相等．
（4）100个孩子围成一圈做游戏，其中有41个男孩和59个女孩．证明：一定有两个男孩，他们之间恰好有19个孩子．
（2）把1到10这10个正整数摆成一个圆圈，证明：一定存在3个相邻的数之和不小于18．
（3）已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合．证明：这个集合必有两个无公共元素的非空子集合，这两个子集合中各数之和相等．
（4）100个孩子围成一圈做游戏，其中有41个男孩和59个女孩．证明：一定有两个男孩，他们之间恰好有19个孩子．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）为表述方便，记8条直线分别为 ${{l}_{1}},{{l}_{2}},...,{{l}_{8}}$，并且任意两条直线 ${{l}_{i}},{{l}_{j}}$，从直线 ${{l}_{i}}$ 按顺时针方向旋转到直线 ${{l}_{j}}$ 的角度记为 $a({{l}_{i}},{{l}_{j}})$ $(1\leqslant i,j\leqslant 8)$，且满足 $0<a({{l}_{i}},{{l}_{j}})<\pi $，及 $a({{l}_{i}},{{l}_{j}})+a({{l}_{j}},{{l}_{i}})=\pi$
不妨假设 $a({{l}_{1}},{{l}_{2}})<a({{l}_{1}},{{l}_{3}})<...<a({{l}_{1}},{{l}_{8}})$，即从直线 ${{l}_{1}}$ 按顺时针方向旋转依次经过 ${{l}_{2}},{{l}_{3}},...,{{l}_{8}}$
则 $a({{l}_{1}},{{l}_{3}})=a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})$，$a({{l}_{1}},{{l}_{4}})=a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})+a({{l}_{3}},{{l}_{4}})$，依次类推
进而 $a({{l}_{1}},{{l}_{8}})=a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})+...+a({{l}_{7}},{{l}_{8}})$，即 $a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})+...+a({{l}_{7}},{{l}_{8}})+a({{l}_{8}},{{l}_{1}})=\pi$
故 $a({{l}_{1}},{{l}_{2}}),a({{l}_{2}},{{l}_{3}}),...,a({{l}_{7}},{{l}_{8}}),a({{l}_{8}},{{l}_{1}})$ 中最小的一个不超过 $\dfrac{\pi }{\text{8}}$，为22．5度，即必有两条直线夹角小于23度，证毕
（2）为表述方便，将1到10这10个整数摆成一个圆圈，按顺序记为 ${{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{10}}$，其中 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{9}}$ 分别为2到10按某个顺序排列，考虑 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{9}}=2+3+...+10=54$，故 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}$，${{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}$，${{a}_{7}}+{{a}_{8}}+{{a}_{9}}$ 中至少一个不小于18，证毕
注记：当这10个数按照1，10，6，2，9，5，4，8，7，3顺序排列时，满足任意3个相邻的数之和不大于18
（3）依题意，集合中的10个数在10到99范围，该集合的非空子集合个数为 ${{2}^{10}}-1=1023$ 个，而每个非空子集合中所有元素的和在10到 $90+91+...+99=945$ 范围，故根据抽屉原则，至少有两个不同的非空子集合，其元素之和相等，符合题意（若这两个子集合有共同元素，则两个子集合分别去掉该共同元素，得到两个新的非空子集合，同样满足其元素之和相等）
（4）为表述方便，将100孩子的位置分别记为 ${{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{100}}$，将其分为20组：
$({{b}_{1}},{{b}_{21}},{{b}_{41}},{{b}_{61}},{{b}_{81}})$，$({{b}_{2}},{{b}_{22}},{{b}_{42}},{{b}_{62}},{{b}_{82}})$，…，$({{b}_{20}},{{b}_{40}},{{b}_{60}},{{b}_{80}},{{b}_{100}})$
根据抽屉原理，41个男孩中，至少有3个在同一组中；换言之，不妨记 $({{b}_{1}},{{b}_{21}},{{b}_{41}},{{b}_{61}},{{b}_{81}})$ 组中至少有3个男孩，而这3个男孩中，至少有两个同时处于编号相差20的位置，即 $({{b}_{1}},{{b}_{21}})$ 或 $({{b}_{21}},{{b}_{41}})$ 或…或 $({{b}_{81}},{{b}_{1}})$ 位置，进而他们之间恰好有19个孩子，证毕
不妨假设 $a({{l}_{1}},{{l}_{2}})<a({{l}_{1}},{{l}_{3}})<...<a({{l}_{1}},{{l}_{8}})$，即从直线 ${{l}_{1}}$ 按顺时针方向旋转依次经过 ${{l}_{2}},{{l}_{3}},...,{{l}_{8}}$
则 $a({{l}_{1}},{{l}_{3}})=a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})$，$a({{l}_{1}},{{l}_{4}})=a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})+a({{l}_{3}},{{l}_{4}})$，依次类推
进而 $a({{l}_{1}},{{l}_{8}})=a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})+...+a({{l}_{7}},{{l}_{8}})$，即 $a({{l}_{1}},{{l}_{2}})+a({{l}_{2}},{{l}_{3}})+...+a({{l}_{7}},{{l}_{8}})+a({{l}_{8}},{{l}_{1}})=\pi$
故 $a({{l}_{1}},{{l}_{2}}),a({{l}_{2}},{{l}_{3}}),...,a({{l}_{7}},{{l}_{8}}),a({{l}_{8}},{{l}_{1}})$ 中最小的一个不超过 $\dfrac{\pi }{\text{8}}$，为22．5度，即必有两条直线夹角小于23度，证毕
（2）为表述方便，将1到10这10个整数摆成一个圆圈，按顺序记为 ${{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{10}}$，其中 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{9}}$ 分别为2到10按某个顺序排列，考虑 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{9}}=2+3+...+10=54$，故 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}$，${{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}$，${{a}_{7}}+{{a}_{8}}+{{a}_{9}}$ 中至少一个不小于18，证毕
注记：当这10个数按照1，10，6，2，9，5，4，8，7，3顺序排列时，满足任意3个相邻的数之和不大于18
（3）依题意，集合中的10个数在10到99范围，该集合的非空子集合个数为 ${{2}^{10}}-1=1023$ 个，而每个非空子集合中所有元素的和在10到 $90+91+...+99=945$ 范围，故根据抽屉原则，至少有两个不同的非空子集合，其元素之和相等，符合题意（若这两个子集合有共同元素，则两个子集合分别去掉该共同元素，得到两个新的非空子集合，同样满足其元素之和相等）
（4）为表述方便，将100孩子的位置分别记为 ${{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{100}}$，将其分为20组：
$({{b}_{1}},{{b}_{21}},{{b}_{41}},{{b}_{61}},{{b}_{81}})$，$({{b}_{2}},{{b}_{22}},{{b}_{42}},{{b}_{62}},{{b}_{82}})$，…，$({{b}_{20}},{{b}_{40}},{{b}_{60}},{{b}_{80}},{{b}_{100}})$
根据抽屉原理，41个男孩中，至少有3个在同一组中；换言之，不妨记 $({{b}_{1}},{{b}_{21}},{{b}_{41}},{{b}_{61}},{{b}_{81}})$ 组中至少有3个男孩，而这3个男孩中，至少有两个同时处于编号相差20的位置，即 $({{b}_{1}},{{b}_{21}})$ 或 $({{b}_{21}},{{b}_{41}})$ 或…或 $({{b}_{81}},{{b}_{1}})$ 位置，进而他们之间恰好有19个孩子，证毕
答案
解析
备注
