已知 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{21}}$ 是区间 $\left( 0,400 \right)$ 内的 $21$ 个实数．
证明：总可以找到两个数 ${{a}_{i}},{{a}_{j}}\left( 1\leqslant i<j\leqslant n \right)$，满足 ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}<1+2\sqrt{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$．
（2）已知实数 $0<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{2011}}$，证明：存在两个数 ${{a}_{i}},{{a}_{j}}\left( 1\leqslant i<j\leqslant 2011 \right)$，满足
${{a}_{j}}-{{a}_{i}}<\dfrac{\left( 1+{{a}_{i}} \right)\left( 1+{{a}_{j}} \right)}{2010}$．
证明：总可以找到两个数 ${{a}_{i}},{{a}_{j}}\left( 1\leqslant i<j\leqslant n \right)$，满足 ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}<1+2\sqrt{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$．
（2）已知实数 $0<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{2011}}$，证明：存在两个数 ${{a}_{i}},{{a}_{j}}\left( 1\leqslant i<j\leqslant 2011 \right)$，满足
${{a}_{j}}-{{a}_{i}}<\dfrac{\left( 1+{{a}_{i}} \right)\left( 1+{{a}_{j}} \right)}{2010}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）依题意，${{a}_{i}}+{{a}_{j}}<1+\sqrt{{{a}_{i}}{{a}_{j}}}$ 可恒等变形为 $|\sqrt{{{a}_{i}}}-\sqrt{{{a}_{j}}}|<1$
将区间（0，400）分为20个子区间（0，1]，（1，4]，（4，9]，…，（324，361]，（361，400）
根据抽屉原理，21个实数中至少有两个 ${{a}_{i}},{{a}_{j}}$ 属于同一子区间，满足 $|\sqrt{{{a}_{i}}}-\sqrt{{{a}_{j}}}|<1$，证毕
（2）依题意，${{a}_{j}}-{{a}_{i}}<\dfrac{(1+{{a}_{i}})(1+{{a}_{j}})}{2010}$ 可恒等变形为 $\dfrac{1}{1+{{a}_{i}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{j}}}<\dfrac{1}{2010}$
考虑 $(\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}})+(\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{3}}})+...+(\dfrac{1}{1+{{a}_{2010}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}})=\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}}<1$
且 $(\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}),(\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{3}}}),...,(\dfrac{1}{1+{{a}_{2010}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}})>0$
故 $(\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}),(\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{3}}}),...,(\dfrac{1}{1+{{a}_{2010}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}})$ 中最小的一项小于 $\dfrac{1}{2010}$，证毕
将区间（0，400）分为20个子区间（0，1]，（1，4]，（4，9]，…，（324，361]，（361，400）
根据抽屉原理，21个实数中至少有两个 ${{a}_{i}},{{a}_{j}}$ 属于同一子区间，满足 $|\sqrt{{{a}_{i}}}-\sqrt{{{a}_{j}}}|<1$，证毕
（2）依题意，${{a}_{j}}-{{a}_{i}}<\dfrac{(1+{{a}_{i}})(1+{{a}_{j}})}{2010}$ 可恒等变形为 $\dfrac{1}{1+{{a}_{i}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{j}}}<\dfrac{1}{2010}$
考虑 $(\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}})+(\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{3}}})+...+(\dfrac{1}{1+{{a}_{2010}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}})=\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}}<1$
且 $(\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}),(\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{3}}}),...,(\dfrac{1}{1+{{a}_{2010}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}})>0$
故 $(\dfrac{1}{1+{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}),(\dfrac{1}{1+{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{3}}}),...,(\dfrac{1}{1+{{a}_{2010}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{2011}}})$ 中最小的一项小于 $\dfrac{1}{2010}$，证毕
答案
解析
备注
