从数 $1,2,3,\cdots ,2017$ 中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余任意两个不同的数的积，问最少要删去多少个数才能做到这一点？
（2）设 $x,y(x > y)$ 为一组互不相等的正整数 $ a_1,a_2,…,a_n $ 中的任意两个数，满足 $ x – y≥ xy/31$．求此正整数组中数的个数n的最大值．
（2）设 $x,y(x > y)$ 为一组互不相等的正整数 $ a_1,a_2,…,a_n $ 中的任意两个数，满足 $ x – y≥ xy/31$．求此正整数组中数的个数n的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）当删去 $\text{2}\text{3}\cdots\text{44}$ 时，剩余元素为 $\text{1,45}\text{46}\cdots\text{2017}$，剩余的数中任意两数的乘积
$\geqslant \text{45}\times \text{46=2070}$ 。所以任何一个数都不等于其余任意两个不同的数的积，故删去43个数时，可以做到。
构造集合 $\{i,89-i,i(89-i)\}(i=2,3,4,\cdots,44)$ 这些集合中每个集合的三个数不能同时出现，所以每个集合中至少去掉一个数，所以至少要去掉43个数。
综上，43是满足条件的。
（2）依题意，$x-y\geqslant \dfrac{xy}{31}$ 可恒等变形为 $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}\geqslant\dfrac{1}{31}$
将正整数分为10个集合：
{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6，7}，{8，9，10}，{11，…，17}，{18，…，42}，{43，44，…}
其中每个集合中任意两个数，其倒数差 $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{31}$，换言之，此正整数组中不可能有两个数属于同一集合，因此该正整数组中数的个数不超过10
并给出10个数组成的正整数组（1，2，3，4，5，6，8，11，18，43）符合要求，因而n的最大值为10
$\geqslant \text{45}\times \text{46=2070}$ 。所以任何一个数都不等于其余任意两个不同的数的积，故删去43个数时，可以做到。
构造集合 $\{i,89-i,i(89-i)\}(i=2,3,4,\cdots,44)$ 这些集合中每个集合的三个数不能同时出现，所以每个集合中至少去掉一个数，所以至少要去掉43个数。
综上，43是满足条件的。
（2）依题意，$x-y\geqslant \dfrac{xy}{31}$ 可恒等变形为 $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}\geqslant\dfrac{1}{31}$
将正整数分为10个集合：
{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6，7}，{8，9，10}，{11，…，17}，{18，…，42}，{43，44，…}
其中每个集合中任意两个数，其倒数差 $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{31}$，换言之，此正整数组中不可能有两个数属于同一集合，因此该正整数组中数的个数不超过10
并给出10个数组成的正整数组（1，2，3，4，5，6，8，11，18，43）符合要求，因而n的最大值为10
答案
解析
备注
