无

略

先证下列命题：
任给 ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\cdots,{{x}_{n}}\in [0,1)$，一定存在 $i,j(0\leqslant i<j\leqslant n)$，使得 $|{{x}_{i}}-{{x}_{j}}|<\dfrac{1}{n}$ 。（只要将 $[0,1)$ $n$ 等分为 $n$ 个小区间 $\left[ 0\dfrac{1}{n} \right),\left[ \dfrac{1}{n}\dfrac{2}{n}\right),\cdots ,\left[ \dfrac{n-1}{n}1 \right),$ 根据抽屉原理知 $n+1$ 个数 ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\cdots,{{x}_{n}}$ 中必有两个数 ${{x}_{i}},{{x}_{j}}(0\lei<j\leqslant n)$ 落在同一区间，从而有 $|{{x}_{i}}-{{x}_{j}}|<\dfrac{1}{n}$）
下面令 ${{m}_{i}}=[i\alpha],i=0,1,2,\cdots ,n$ 。于是 ${{m}_{i}}\leqslant i\alpha<{{m}_{i}}+1$，即 $0\leqslant i\alpha -{{m}_{i}}<1$，由上述命题知，存在 $0\leqslant k<l\leqslant n$，使得 $\text{ }\!\!|\!\!\text{ (}l\alpha-{{m}_{l}})-(k\alpha -{{m}_{k}})|<\dfrac{1}{n}$，即
$\text{}\!\!|\!\!\text{ (}l-k)\alpha -({{m}_{l}}-{{m}_{k}})|<\dfrac{1}{n}$
令 $p=l-k$，$q={{m}_{l}}-{{m}_{k}}$，则 $p,q$ 为正整数，代入 ① 得
$|p\alpha-q|<\dfrac{1}{n}$，即 $|\alpha -\dfrac{q}{p}|<\dfrac{1}{np}$ 。