若从 $1,2,3,\cdots ,n$ 中任取 $5$ 个两两互素的不同的整数 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$，其中总有一个是素数，求
$n$
的最大值．
（2）设 $S=\left\{ 1,2,\cdots ,2005 \right\}$ $S=\left\{ 1,2,3,\cdots ,2005 \right\}$，若 $S$ 中任意 $n$ 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 $n$ n的最小值．
$n$
的最大值．
（2）设 $S=\left\{ 1,2,\cdots ,2005 \right\}$ $S=\left\{ 1,2,3,\cdots ,2005 \right\}$，若 $S$ 中任意 $n$ 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 $n$ n的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）在1，2，3，…，49中可取出5个数1，4，9，25，49，这5个数都不是素数且两两互素，故n的最大值不超过48；
另一方面，若存在5个两两互素的不同的整数 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{5}}$ 均不是素数，为使n尽可能小，其中一个为1，不妨记 ${{a}_{1}}=1$，而 ${{a}_{2}},...,{{a}_{5}}$ 中最多有一个偶数（2的倍数），不妨记为 ${{a}_{2}}$，其最小可能值为 ${{a}_{2}}=4$，进一步，${{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$ 中最多有一个3的倍数，不妨记为 ${{a}_{3}}$，其最小可能值为 ${{a}_{3}}=9$，再进一步，${{a}_{4}},{{a}_{5}}$ 中最多有一个5的倍数，不妨记为 ${{a}_{4}}$，其最小可能值为 ${{a}_{4}}=25$，最后 ${{a}_{5}}$ 为不是2，3，5倍数的合数，最小可能值为 ${{a}_{5}}=49$，即此时n至少为49；
综上，n的最大值为48
（2）由上题分析，从集合S中尽可能多地选取两两互素的非素数，选取1和素数的完全平方，即 $1,{{2}^{2}},{{3}^{2}},{{5}^{2}},{{7}^{2}},{{11}^{2}},{{13}^{2}},\text{1}{{\text{7}}^{\text{2}}}...$，并考虑 $1936={{44}^{\text{2}}}<2005<{{45}^{2}}=2025$，进而最多可选出 $1,{{2}^{2}},{{3}^{2}},{{5}^{2}},{{7}^{2}},{{11}^{2}},{{13}^{2}},\text{1}{{\text{7}}^{\text{2}}}\text{1}{{\text{9}}^{\text{2}}}\text{2}{{\text{3}}^{\text{2}}}\text{2}{{\text{9}}^{\text{2}}}\text{3}{{\text{1}}^{\text{2}}}\text{3}{{\text{7}}^{\text{2}}}\text{4}{{\text{1}}^{\text{2}}}\text{4}{{\text{3}}^{\text{2}}}$ 总计15个；因此，为使选出的n个数中至少有一个素数，n的最小值应为16
另一方面，若存在5个两两互素的不同的整数 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{5}}$ 均不是素数，为使n尽可能小，其中一个为1，不妨记 ${{a}_{1}}=1$，而 ${{a}_{2}},...,{{a}_{5}}$ 中最多有一个偶数（2的倍数），不妨记为 ${{a}_{2}}$，其最小可能值为 ${{a}_{2}}=4$，进一步，${{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$ 中最多有一个3的倍数，不妨记为 ${{a}_{3}}$，其最小可能值为 ${{a}_{3}}=9$，再进一步，${{a}_{4}},{{a}_{5}}$ 中最多有一个5的倍数，不妨记为 ${{a}_{4}}$，其最小可能值为 ${{a}_{4}}=25$，最后 ${{a}_{5}}$ 为不是2，3，5倍数的合数，最小可能值为 ${{a}_{5}}=49$，即此时n至少为49；
综上，n的最大值为48
（2）由上题分析，从集合S中尽可能多地选取两两互素的非素数，选取1和素数的完全平方，即 $1,{{2}^{2}},{{3}^{2}},{{5}^{2}},{{7}^{2}},{{11}^{2}},{{13}^{2}},\text{1}{{\text{7}}^{\text{2}}}...$，并考虑 $1936={{44}^{\text{2}}}<2005<{{45}^{2}}=2025$，进而最多可选出 $1,{{2}^{2}},{{3}^{2}},{{5}^{2}},{{7}^{2}},{{11}^{2}},{{13}^{2}},\text{1}{{\text{7}}^{\text{2}}}\text{1}{{\text{9}}^{\text{2}}}\text{2}{{\text{3}}^{\text{2}}}\text{2}{{\text{9}}^{\text{2}}}\text{3}{{\text{1}}^{\text{2}}}\text{3}{{\text{7}}^{\text{2}}}\text{4}{{\text{1}}^{\text{2}}}\text{4}{{\text{3}}^{\text{2}}}$ 总计15个；因此，为使选出的n个数中至少有一个素数，n的最小值应为16
答案
解析
备注
