一初始时刻黑板上写有两个多项式 ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$ 和 ${{x}^{2}}-4x$．如果黑板上有多项式 $f\left( x \right)$ 和 $g\left( x \right)$，则可以在黑板上写上 $f\left( x \right)\pm g\left( x \right) f\left( x \right)g\left( x \right)$，$f\left( g\left( x \right) \right) cf\left( x \right)$，其中 $c$ 为任意实数．经过有限次操作后，黑板上可否出现多项式 ${{x}^{n}}-1$，其中 $n$ 为某个正整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不能出现．
对于多项式 $f\left( x \right) g\left( x\right)$，设存在 ${{x}_{0}}$ 满足 ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)={g}'\left({{x}_{0}} \right)=0$，则 ${{\left( f\pm g \right)}^{\prime}}\left( {{x}_{0}} \right)=0$，$c{f}'\left({{x}_{0}} \right)=0$，${{\left( fg \right)}^{\prime}}\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}} \right){g}'\left( {{x}_{0}}\right)+{f}'\left( {{x}_{0}} \right)g\left( {{x}_{0}} \right)=0$，${{\left( f\left( g\left( x \right) \right)\right)}^{\prime }}{{|}_{x={{x}_{0}}}}={f}'\left( g\left( {{x}_{0}} \right)\right){g}'\left( {{x}_{0}} \right)$ $=0$，注意到多项式 ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$ 和 ${{x}^{2}}-4x$．在2处的导数都为0，因此，黑板上出现的任意多项式在2处的导数为0，但当 $x=2 {{\left( {{x}^{n}}-1\right)}^{\prime }}=m{{x}^{n-1}}={{n}^{2n-1}}\ne 0$．故 ${{x}^{n}}-1$ 不可能出现．
对于多项式 $f\left( x \right) g\left( x\right)$，设存在 ${{x}_{0}}$ 满足 ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)={g}'\left({{x}_{0}} \right)=0$，则 ${{\left( f\pm g \right)}^{\prime}}\left( {{x}_{0}} \right)=0$，$c{f}'\left({{x}_{0}} \right)=0$，${{\left( fg \right)}^{\prime}}\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}} \right){g}'\left( {{x}_{0}}\right)+{f}'\left( {{x}_{0}} \right)g\left( {{x}_{0}} \right)=0$，${{\left( f\left( g\left( x \right) \right)\right)}^{\prime }}{{|}_{x={{x}_{0}}}}={f}'\left( g\left( {{x}_{0}} \right)\right){g}'\left( {{x}_{0}} \right)$ $=0$，注意到多项式 ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$ 和 ${{x}^{2}}-4x$．在2处的导数都为0，因此，黑板上出现的任意多项式在2处的导数为0，但当 $x=2 {{\left( {{x}^{n}}-1\right)}^{\prime }}=m{{x}^{n-1}}={{n}^{2n-1}}\ne 0$．故 ${{x}^{n}}-1$ 不可能出现．
答案
解析
备注
