一次考试共有 $m$ 道试题，$n$ 个学生参加，其中 $m,n\geqslant 2$ 为给定的整数。每道题的得分规则是：若改题恰有 $x$ 个学生没有答对，则每个答对改题的学生得 $x$ 分，未答对的学生得零分。每个学生的总分为其 $m$ 道题的得分的总和。将所有学生总分从高到低排列为 ${{p}_{1}}\geqslant {{p}_{2}}\geqslant \cdots \geqslant {{p}_{n}}$，求 ${{p}_{1}}+{{p}_{n}}$ 的最大可能值。
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对任意的k，$1\leqslant k\leqslant m$，记第k题没有答对者有 ${{x}_{k}}$ 人，则第k题答对者有 $n-{{x}_{k}}$ 人，由得分规则知，这 $n-{{x}_{k}}$ 个人在第k题均得到 ${{x}_{k}}$ 分，并记n个学生的得分之和为S，有
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{{{p}_{i}}=S=}\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}(n-{{x}_{k}})=}n\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}}}$
由于每一个人在第k题上至多得 ${{x}_{k}}$ 分，故 $\displaystyle {{p}_{1}}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}}$
又由于 ${{p}_{2}}\geqslant {{p}_{3}}\geqslant ...\geqslant {{p}_{n}}$，故有 ${{p}_{n}}\leqslant\frac{{{p}_{2}}+{{p}_{3}}+...+{{p}_{n}}}{n-1}=\frac{S-{{p}_{1}}}{n-1}$，因此
$\displaystyle \begin{align}
& {{p}_{1}}+{{p}_{n}}\leqslant{{p}_{1}}+\frac{S-{{p}_{1}}}{n-1}=\frac{n-2}{n-1}{{p}_{1}}+\frac{1}{n-1}S \\
& \leqslant\frac{n-2}{n-1}*(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}})+}\frac{1}{n-1}*(n\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}})}\\
&=2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-}\frac{1}{n-1}*\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}}\\
\end{align}$
再由柯西不等式，$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}}\geqslant\frac{1}{m}(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}{{)}^{2}}}$，得到
$\displaystyle {{p}_{1}}+{{p}_{n}}\leqslant 2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-}\frac{1}{m(n-1)}*(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}{{)}^{2}}}=-\frac{1}{m(n-1)}*[{{(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}})-m(n-1)}]}^{2}}+m(n-1)\lem(n-1)$
另一方面，若有一个学生全部答对，其他n-1个学生全部答错，则
$\displaystyle {{p}_{1}}+{{p}_{n}}={{p}_{1}}\text{=}\sum\limits_{{}}^{{}}{(n-1)=m}(n-1)$
综上，${{p}_{1}}+{{p}_{n}}$ 的最大值为 $m(n-1)$
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{{{p}_{i}}=S=}\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}(n-{{x}_{k}})=}n\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}}}$
由于每一个人在第k题上至多得 ${{x}_{k}}$ 分，故 $\displaystyle {{p}_{1}}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}}$
又由于 ${{p}_{2}}\geqslant {{p}_{3}}\geqslant ...\geqslant {{p}_{n}}$，故有 ${{p}_{n}}\leqslant\frac{{{p}_{2}}+{{p}_{3}}+...+{{p}_{n}}}{n-1}=\frac{S-{{p}_{1}}}{n-1}$，因此
$\displaystyle \begin{align}
& {{p}_{1}}+{{p}_{n}}\leqslant{{p}_{1}}+\frac{S-{{p}_{1}}}{n-1}=\frac{n-2}{n-1}{{p}_{1}}+\frac{1}{n-1}S \\
& \leqslant\frac{n-2}{n-1}*(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}})+}\frac{1}{n-1}*(n\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}})}\\
&=2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-}\frac{1}{n-1}*\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}}\\
\end{align}$
再由柯西不等式，$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}^{2}}\geqslant\frac{1}{m}(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}{{)}^{2}}}$，得到
$\displaystyle {{p}_{1}}+{{p}_{n}}\leqslant 2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}-}\frac{1}{m(n-1)}*(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}}{{)}^{2}}}=-\frac{1}{m(n-1)}*[{{(\sum\limits_{k=1}^{m}{{{x}_{k}})-m(n-1)}]}^{2}}+m(n-1)\lem(n-1)$
另一方面，若有一个学生全部答对，其他n-1个学生全部答错，则
$\displaystyle {{p}_{1}}+{{p}_{n}}={{p}_{1}}\text{=}\sum\limits_{{}}^{{}}{(n-1)=m}(n-1)$
综上，${{p}_{1}}+{{p}_{n}}$ 的最大值为 $m(n-1)$
答案
解析
备注
