已知曲线 $C:\left(x^2+y^2\right)^3=4x^2y^2$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ACD
【解析】
A选项，B选项和C选项较为简单．下面讨论D选项．
令 $\begin{cases}x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\end{cases}$ 则曲线 $C$ 的极坐标方程为\[
r=\sin{2\theta}.
\]故\begin{align*}
x^2
&=r^2\cos^2\theta=4\sin^2\theta\cos^4\theta\\
&=2\cdot\left(2-2\cos^2\theta\right)\cdot\cos^2\theta\cdot\cos^2\theta\\
&\leqslant 2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{16}{27},
\end{align*}所以 $|x|\leqslant \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$，同理有 $|y|\leqslant \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$，故D选项正确．
令 $\begin{cases}x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\end{cases}$ 则曲线 $C$ 的极坐标方程为\[
r=\sin{2\theta}.
\]故\begin{align*}
x^2
&=r^2\cos^2\theta=4\sin^2\theta\cos^4\theta\\
&=2\cdot\left(2-2\cos^2\theta\right)\cdot\cos^2\theta\cdot\cos^2\theta\\
&\leqslant 2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{16}{27},
\end{align*}所以 $|x|\leqslant \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$，同理有 $|y|\leqslant \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$，故D选项正确．
题目
答案
解析
备注
