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三个互异的数 $a,b,c$ 相乘时可以有不同的相乘方法，如 $(ab)c$，$(ba)c$，$c(ab)$，$b(ca)$ 就是其中 $4$ 种不同的相乘方法．设 $n$ 个互异数的不同相乘方法共有 $I_n$ 种，则 \((\qquad)\)
A: $I_2=2$
B: $I_3=12$
C: $I_4=96$
D: $I_4=120$
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    经典计数问题
    >
    卡特兰数
【答案】
ABD
【解析】
根据卡特兰数的定义，可得$$I_n=C_{n-1}\cdot {\rm A}_n^n = \dfrac{1}{n}\cdot{\rm C}_{2n-2}^{n-1}\cdot n!=(n-1)!\cdot {\rm C}_{2n-2}^{n-1}.$$
题目 答案 解析 备注
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