如图所示，已知四边形 $ABCD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，$\angle BCD=30^{\circ}$，$AB=AD$．$BC+CD=12\sqrt{3}$，连结 $AC$，线段 $AC$ 的长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图所示，将 $\triangle ABC$ 绕着 $A$ 旋转至 $\triangle ADC^{\prime}$，容易得到 $\triangle ACC^{\prime}$ 为等腰直角三角形，$CC^{\prime}=\sqrt{2}AC$，
在 $\triangle CDC^{\prime}$ 中，$\angle CDC^{\prime}=120^{\circ}$，设 $DC^{\prime}=BC=a$，$DC=b$，$a+b=12\sqrt{3}$
则 $C^{\prime}C^2=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab\geqslant \dfrac{3}{4}(a+b)^2=324$，
故 $CC^{\prime}\geqslant 18$
$AC$ 的最小值为 $9\sqrt{2}$．
在 $\triangle CDC^{\prime}$ 中，$\angle CDC^{\prime}=120^{\circ}$，设 $DC^{\prime}=BC=a$，$DC=b$，$a+b=12\sqrt{3}$
则 $C^{\prime}C^2=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab\geqslant \dfrac{3}{4}(a+b)^2=324$，
故 $CC^{\prime}\geqslant 18$
$AC$ 的最小值为 $9\sqrt{2}$．
答案
解析
备注
