设 $u,v,w$ 为正实数，满足条件$$u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge1,$$试求 $u+v+w$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由均值不等式和题中条件，得 $
u\dfrac{v+w}{2}+v\dfrac{w+u}{2}+w\dfrac{u+v}{2}\geqslant u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge1$．所以 $uv+vw+wu\ge1$．因此 $\begin{align}
(u+v+w)^2&=u^2+v^2+w^2+2uv+2vw+2wu\\
&=\dfrac{u^2+v^2}{2}+\dfrac{v^2+w^2}{2}+\dfrac{w^2+u^2}{2}+2uv+2vw+2wu\\
&\ge3uv+3vw+3wu\ge3
\end{align}$
即 $u+v+w\geqslant\sqrt{3}$．另外一方面，显然 $u=v=w=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 满足题目中的条件，此时 $u+v+w=\sqrt{3}$．
综合上述两方面，即知 $u+v+w$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．
u\dfrac{v+w}{2}+v\dfrac{w+u}{2}+w\dfrac{u+v}{2}\geqslant u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge1$．所以 $uv+vw+wu\ge1$．因此 $\begin{align}
(u+v+w)^2&=u^2+v^2+w^2+2uv+2vw+2wu\\
&=\dfrac{u^2+v^2}{2}+\dfrac{v^2+w^2}{2}+\dfrac{w^2+u^2}{2}+2uv+2vw+2wu\\
&\ge3uv+3vw+3wu\ge3
\end{align}$
即 $u+v+w\geqslant\sqrt{3}$．另外一方面，显然 $u=v=w=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 满足题目中的条件，此时 $u+v+w=\sqrt{3}$．
综合上述两方面，即知 $u+v+w$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．
答案
解析
备注
