设 $a,b,c$ 为非负实数，求$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$$的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然 $a,b,c$ 中至多有一个为 $0$．
若 $a,b,c$ 中有一个为 $0$，不妨设 $c=0$，则原式 $=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2$，其中等号成立条件当且仅当 $a=b>0$ 时成立．
若 $a,b,c$ 不全为 $0$，则原式 $=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b}{b(c+a)}+\dfrac{c}{c{a+b}}\geqslant\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2.$
易知，上述等号不能取到．
综上可知，当 $a,b,c$ 中，一个为 $0$，另外两个为相等正数时，原式最小值为 $2$．
若 $a,b,c$ 中有一个为 $0$，不妨设 $c=0$，则原式 $=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2$，其中等号成立条件当且仅当 $a=b>0$ 时成立．
若 $a,b,c$ 不全为 $0$，则原式 $=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b}{b(c+a)}+\dfrac{c}{c{a+b}}\geqslant\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2.$
易知，上述等号不能取到．
综上可知，当 $a,b,c$ 中，一个为 $0$，另外两个为相等正数时，原式最小值为 $2$．
答案
解析
备注
