已知 $k$ 是实数，对于任意实数 $x$，设 $$ f（x）=\dfrac{x^4+kx^2+1}{x^4+x^2+1} $.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f(x)$ 的最大值和最小值；标注答案略解析将给定的函数化为 $f(x)=\dfrac{(k-1)x^2}{x^4+x^2+1}+1$．
当 $k\geqslant 1$ 时，显然 $f_{\min}=f(0)=1$．而 $x^4+x^2+1\ge2\sqrt{x^4+1}+x^2=3x^2$，所以 $f(x)\leqslant\dfrac{(k-1)x^2}{3x^2}+1=\dfrac{k+2}{3}$，其中等号当 $x=\pm1$ 时成立．
所以，当 $k\geqslant 1$ 时，$f_{\min}=1,f_{\max}=\dfrac{1}{3}(k+2)$．
当 $k<1$ 时，正好与上述情形相反，$f_{\min}=\frac{1}{3}(k+2),f_{\max}=1$． -
求所有的实数 $k$，使得对每 $3$ 个实数 $a,b,c$，存在一个三角形，具有变成 $f(a),f(b),f(c)$．标注答案略解析由三角形任意两边之和大于等三边知道，$f(x)$ 的参数 $k$ 能使得对任意三个实数 $a,b,c$ 都存在三角形具有边长 $f(a),f(b),f(c)$ 的充要条件是 $f(x)$ 中的实数 $k$ 使得 $2f_{\min}>f_{\max}$．
当 $k\ge1$ 时，上述等价于 $2>\dfrac{1}{3}(k+2)$，解得 $1\leqslant k<4$；
当 $k<1$ 时，上式等价于 $\dfrac{2}{3}(k+2)>1$，解得 $-\dfrac{1}{2}<k<1$．
故所求的实数 $k$ 的取值范围为 $\left(-\dfrac{1}{2},4\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
