已知 $a,b,c\in\mathbb{R}^+$，且 $abc=1$，求证：$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant\dfrac{3}{2}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $a,b,c\in\mathbb{R}^+$，所以$$\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{a^2}{b+c}\ge2\sqrt{\dfrac{b+c}{4}\cdot\dfrac{a^2}{b+c}}=a.$$同理 $\dfrac{c+a}{4}+\dfrac{b^2}{c+a}\geqslant b$，$\dfrac{a+b}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant c$．
上述三式相加得 $\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{c+a}{4}+
\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{a+b}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant a+b+c$．
即 $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant\dfrac{a+b+c}{2}$．
又 $abc=1$，所以 $\dfrac{a+b+c}{2}$，所以 $\dfrac{a+b+c}{2}\geqslant \dfrac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{abc}=\dfrac{3}{2}$．
所以 $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant\dfrac{3}{2}$．
上述三式相加得 $\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{c+a}{4}+
\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{a+b}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant a+b+c$．
即 $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant\dfrac{a+b+c}{2}$．
又 $abc=1$，所以 $\dfrac{a+b+c}{2}$，所以 $\dfrac{a+b+c}{2}\geqslant \dfrac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{abc}=\dfrac{3}{2}$．
所以 $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\geqslant\dfrac{3}{2}$．
答案
解析
备注
