已知 $a,b,c\in\mathbb{R}^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$$\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\le6.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式及已知条件得
$\begin{align}
&(\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1})^2
\leqslant&(1+1+1)(9a+1+9b+1+9c+1)
=&3[9(a+b+c)+3]=3(9+3)=36.
\end{align}$
所以 $\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\le6$．
$\begin{align}
&(\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1})^2
\leqslant&(1+1+1)(9a+1+9b+1+9c+1)
=&3[9(a+b+c)+3]=3(9+3)=36.
\end{align}$
所以 $\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\le6$．
答案
解析
备注
