设 $a,b,c$ 是三角形的三边，$m>0$，求证：$$\dfrac{a}{a+m}+\dfrac{b}{b+m}>\dfrac{c}{c+m}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用分析法，因为 $a,b,c,m$ 均为正数，所以
$\begin{align}
&\dfrac{a}{a+m}+\dfrac{b}{b+m}>\dfrac{c}{c+m}\\
&\Leftarrow\dfrac{a(b+m)+b(a+m)}{(a+m)(b+m)}>\dfrac{c}{c+m}\\
&\Leftarrow\dfrac{2ab+m(a+b)}{ab+m(a+b)+m^2}>\dfrac{c}{c+m}\\
&\Leftarrow\dfrac{ab+m(a+b)+m^2}{2ab+m(a+b)}<\dfrac{c+m}{c}\\
&\Leftarrow1+\dfrac{m^2-ab}{2ab+m(a+b)}<1+\dfrac{m}{c}\\
&\Leftarrow m^2c-abc<2abm+m^2(a+b)\\
&\Leftarrow m^2(c-a-b)<ab(2m+c).
\end{align}$
因为 $a,b,c$ 为三角形的三边，所以 $a+b>c$．所以 $m^2(c-a-b)<0<ab(2m+c)$．证毕．
$\begin{align}
&\dfrac{a}{a+m}+\dfrac{b}{b+m}>\dfrac{c}{c+m}\\
&\Leftarrow\dfrac{a(b+m)+b(a+m)}{(a+m)(b+m)}>\dfrac{c}{c+m}\\
&\Leftarrow\dfrac{2ab+m(a+b)}{ab+m(a+b)+m^2}>\dfrac{c}{c+m}\\
&\Leftarrow\dfrac{ab+m(a+b)+m^2}{2ab+m(a+b)}<\dfrac{c+m}{c}\\
&\Leftarrow1+\dfrac{m^2-ab}{2ab+m(a+b)}<1+\dfrac{m}{c}\\
&\Leftarrow m^2c-abc<2abm+m^2(a+b)\\
&\Leftarrow m^2(c-a-b)<ab(2m+c).
\end{align}$
因为 $a,b,c$ 为三角形的三边，所以 $a+b>c$．所以 $m^2(c-a-b)<0<ab(2m+c)$．证毕．
答案
解析
备注
