设 $f(x)$，$g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的实值函数，证明：存在 $x_0,y_0\in[0,1]$，使得$$|x_0y_0-f(x_0)-g(y_0)|\geqslant\dfrac{1}{4}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法，假设对于任意 $x,y\in[0,1]$，恒有$$|xy-f(x)-g(y)|<\dfrac{1}{4}.$$分别取 $(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$，有 $|f(0)+g(0)|<\dfrac{1}{4}$，$|f(0)+g(1)|<\dfrac{1}{4}$，$|f(1)+g(0)|<\dfrac{1}{4}$，$|1-f(1)-g(1)|<\dfrac{1}{4}$．
所以 $1=|1-f(1)-g(1)+f(1)+g(0)+f(0)+g(1)-f(0)-g(0)|\leqslant|1-f(1)-g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(1)|+|f(0)+g(0)|<1$．
矛盾，从而知道原命题成立．
下面，我们来看一个稍难的问题．
所以 $1=|1-f(1)-g(1)+f(1)+g(0)+f(0)+g(1)-f(0)-g(0)|\leqslant|1-f(1)-g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(1)|+|f(0)+g(0)|<1$．
矛盾，从而知道原命题成立．
下面，我们来看一个稍难的问题．
答案
解析
备注
