已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右焦点为 $F_1,F_2$，且离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$M$ 为椭圆上一点，当 $\angle F_1MF_2=90^{\circ}$，$\triangle F_1MF_2$ 的面积为1．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案略解析由椭圆焦点三角形的面积 $S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$．解得 $b=1$，由离心率 $e=\dfrac{c}{a}$，解得 $a=\sqrt{2}$．所以椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$．
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已知点 $A$ 是椭圆 $C$ 上异于椭圆顶点的一点，延长直线 $AF_1$，$AF_2$ 分别与椭圆交于点 $B$，$D$，设直线 $BD$ 的斜率为 $k_1$，直线 $OA$ 的斜率为 $k_2$，求证：$k_1\cdot k_2$ 为定值．标注答案略解析我们来解析一般情况．
设 $A(x_0,y_0)$，则直线 $AF_2$ 为 $x=\dfrac{x_0-1}{y_0}y+1$，令 $\dfrac{x_0-1}{y_0}=t_1$，即 $AF_2$ 为 $x=k_1y+1$，联立其和椭圆可以得到方程
$(t_1^2+2)y^2+2t_1y-1=0$
由韦达定理，解得 $y_D=\dfrac{-1}{(t_2^2+2)y_0}=\dfrac{-y_0}{(x_0-1)^2+2y_0^2}=\dfrac{-y_0}{3-2x_0}$，
$x_D=-\dfrac{x_0-1}{3-2x_0}+1=\dfrac{4-3x_0}{3-2x_0}$．
类似的可以计算得到 $y_B=\dfrac{-y_0}{3+2x_0},x_B=\dfrac{-4-3x_0}{3+2x_0}$，
因此 $k_{BD}=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\dfrac{-4x_0y_0}{24-12x_0^2}=-\dfrac{x_0}{6y_0}$
因此 $k_{BD}\cdot k_{OA}=-\dfrac{1}{6}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
