已知实数 $a,b,c,d$ 满足：$a+b+c+d=6$，$a^2+b^2+c^2+d^2=12$，求：$S=4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)$ 的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意可知 $a^2+b^2+c^2+d^2-2(a+b+c+d)=0$，配方可得 $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=4$．
由 $(a-1)^4=a^4-4a^3+6a^2-4a+1$，配四次方可得 $4a^3-a^4=-(a-1)^4+6a^2-4a+1$，
因此 $S=-[(a-1)^4+(b-1)^4+(c-1)^4+(d-1)^4]+6(a^2+b^2+c^2+d^2)-4(a+b+c+d)+4\\=-[(a-1)^4+(b-1)^4+(c-1)^4+(d-1)^4]+52$，
问题转化为已知 $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=4$，求 $[(a-1)^4+(b-1)^4+(c-1)^4+(d-1)^4]$ 的最值，
换元令 $(a-1)^2=x,(b-1)^2=y,(c-1)^2=z,(d-1)^2=w$，
问题转化为非负实数 $x,y,z,w$ 满足 $x+y+z+w=4$，求 $x^2+y^2+z^2+w^2$ 的最值，
由平方均值和算术均值的关系可得 $x^2+y^2+z^2+w^2\geqslant 4\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^2=4$，等号成立条件 $x=y=z=w$，例如 $a=0,b=c=d=2$ 是可以达到的．此时 $S_{\max}=48$．
又由 $x,y,z,w$ 为非负实数，$x^2+y^2+z^2+w^2\leqslant(x+y+z+w)^2=16$，等号成立条件为 $x,y,z,w$ 四个中有 $3$ 个为 $0$，其余为 $4$，例如 $a=b=c=1,d=3$，此时 $S_{\min}=36$．
综上，$S$ 的最大值和最小值分别为 $48$ 和 $36$．
由 $(a-1)^4=a^4-4a^3+6a^2-4a+1$，配四次方可得 $4a^3-a^4=-(a-1)^4+6a^2-4a+1$，
因此 $S=-[(a-1)^4+(b-1)^4+(c-1)^4+(d-1)^4]+6(a^2+b^2+c^2+d^2)-4(a+b+c+d)+4\\=-[(a-1)^4+(b-1)^4+(c-1)^4+(d-1)^4]+52$，
问题转化为已知 $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=4$，求 $[(a-1)^4+(b-1)^4+(c-1)^4+(d-1)^4]$ 的最值，
换元令 $(a-1)^2=x,(b-1)^2=y,(c-1)^2=z,(d-1)^2=w$，
问题转化为非负实数 $x,y,z,w$ 满足 $x+y+z+w=4$，求 $x^2+y^2+z^2+w^2$ 的最值，
由平方均值和算术均值的关系可得 $x^2+y^2+z^2+w^2\geqslant 4\left(\dfrac{a+b+c+d}{4}\right)^2=4$，等号成立条件 $x=y=z=w$，例如 $a=0,b=c=d=2$ 是可以达到的．此时 $S_{\max}=48$．
又由 $x,y,z,w$ 为非负实数，$x^2+y^2+z^2+w^2\leqslant(x+y+z+w)^2=16$，等号成立条件为 $x,y,z,w$ 四个中有 $3$ 个为 $0$，其余为 $4$，例如 $a=b=c=1,d=3$，此时 $S_{\min}=36$．
综上，$S$ 的最大值和最小值分别为 $48$ 和 $36$．
答案
解析
备注
