设 $x_1,x_2,x_3$ 是正数，求证：$$x_1x_2x_3\geqslant(x_2+x_3-x_1)(x_1+x_3-x_2)(x_1+x_2-x_3).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=x_2+x_3-x_1,b=x_1+x_3-x_2,c=x_1+x_2-x_3$，则 $x_1=\dfrac{b+c}{2},x_2=\dfrac{c+a}{2},x_3=\dfrac{a+b}{2}$．
$a,b,c$ 中至多有一个不大于 $0$，否则，不妨设 $a\le0,b\le0$，则 $x_3\le0$，与 $x_3>0$ 矛盾．
当 $a,b,c$ 中恰有一个不大于 $0$ 时，不等式显然成立．
当 $a,b,c$ 均为正数时，原不等式化为 $(b+c)(c+a)(a+b)\ge8abc$．
而 $b+c\ge2\sqrt{bc},c+a\ge2\sqrt{ca},a+b\ge2\sqrt{ab}$，显然上式成立．
$a,b,c$ 中至多有一个不大于 $0$，否则，不妨设 $a\le0,b\le0$，则 $x_3\le0$，与 $x_3>0$ 矛盾．
当 $a,b,c$ 中恰有一个不大于 $0$ 时，不等式显然成立．
当 $a,b,c$ 均为正数时，原不等式化为 $(b+c)(c+a)(a+b)\ge8abc$．
而 $b+c\ge2\sqrt{bc},c+a\ge2\sqrt{ca},a+b\ge2\sqrt{ab}$，显然上式成立．
答案
解析
备注
