设 $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$，那么$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2)^2$$，当 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 不全为 $0$ 时，等号当且仅当 $b_1=\lambda a_1,b_2=\lambda a_2,(\lambda\in\mathbb{R})$ 时成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a_1^2+a_2^2=r_1^2,b_1^2+b_2^2=r_2^2,r_1\ge0,r_2\ge0$，于是令 $\begin{cases}
a_1=r_1\cos\alpha\\
a_2=r_2\sin\alpha
\end{cases}$，$\begin{cases}b_1=r_2\cos\beta\\
b_2=r_2\sin\beta.
\end{cases}$
从而有
$\begin{align}
(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)&=(r_1^2\cos^2\alpha+r_1^2\sin^2\alpha)(r_2^2\cos^2\beta+r_2^2\sin^2\beta)\\
&=r_1^2r_2^2\geqslant r_1^2r_2^2\cos^2(\alpha-\beta)\\
&=(r_1r_2\cos\alpha\cos\beta+r_1r_2\sin\alpha\sin\beta)^2\\
&=(a_1b_1+a_2b_2)^2
\end{align}$
当 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 不全为 $0$ 时，其中等号当且仅当 $\cos(\alpha-\beta)=\pm 1$ 时取得成立，即当 $b_1=\lambda a_1,b_2=\lambda a_2$ 时，等号成立．
a_1=r_1\cos\alpha\\
a_2=r_2\sin\alpha
\end{cases}$，$\begin{cases}b_1=r_2\cos\beta\\
b_2=r_2\sin\beta.
\end{cases}$
从而有
$\begin{align}
(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)&=(r_1^2\cos^2\alpha+r_1^2\sin^2\alpha)(r_2^2\cos^2\beta+r_2^2\sin^2\beta)\\
&=r_1^2r_2^2\geqslant r_1^2r_2^2\cos^2(\alpha-\beta)\\
&=(r_1r_2\cos\alpha\cos\beta+r_1r_2\sin\alpha\sin\beta)^2\\
&=(a_1b_1+a_2b_2)^2
\end{align}$
当 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 不全为 $0$ 时，其中等号当且仅当 $\cos(\alpha-\beta)=\pm 1$ 时取得成立，即当 $b_1=\lambda a_1,b_2=\lambda a_2$ 时，等号成立．
答案
解析
备注
