已知 $x,y,z$ 都是非负实数，且 $x+y+z=1$，求证：$$0\leqslant xy+yz+zx-2xyz\leqslant\dfrac{7}{27}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$．由 $x+y+z=1$，易得 $z\leqslant\dfrac{1}{3},x+y\geqslant\dfrac{2}{3}$，从而 $2xyz\leqslant\dfrac{2}{3}xy\leqslant xy$．所以$$yz+zx+xy-2xyz\ge0.$$而另一方面，令 $x+y=\dfrac{2}{3}+t,z=\dfrac{1}{3}-t\left(0\leqslant t\leqslant\dfrac{1}{3}\right)$，则
$\begin{align}
&z(x+y)+xy(1-2z)\\
=&\left(\dfrac{1}{3}-t\right)\left(\dfrac{2}{3}+t\right)+xy\left(\dfrac{1}{3}+2t\right)\\
\leqslant&\left(\dfrac{1}{3}-t\right)\left(\dfrac{2}{3}+t\right)+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{t}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}+2t\right)\\
=&\dfrac{7}{27}-\dfrac{t^2}{2}\left(\dfrac{1}{2}-t\right)\leqslant\dfrac{7}{27}.
\end{align}$
$\begin{align}
&z(x+y)+xy(1-2z)\\
=&\left(\dfrac{1}{3}-t\right)\left(\dfrac{2}{3}+t\right)+xy\left(\dfrac{1}{3}+2t\right)\\
\leqslant&\left(\dfrac{1}{3}-t\right)\left(\dfrac{2}{3}+t\right)+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{t}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}+2t\right)\\
=&\dfrac{7}{27}-\dfrac{t^2}{2}\left(\dfrac{1}{2}-t\right)\leqslant\dfrac{7}{27}.
\end{align}$
答案
解析
备注
