设 $a,b,c$ 为正数，求证：$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a+b+c)^2\ge4\sqrt{3abc(a+b+c)}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $abc=1$．于是不等式 ① 转化为$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+(a+b+c)^2\ge4\sqrt{3}\cdot\sqrt{a+b+c}.$$注意到 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}}=3$，令 $\sqrt{a+b+c}=t(>0)$，我们来证明比 ② 更强的不等式 $3+t^4\ge4\sqrt{3}t$．
易知 $t=\sqrt{a+b+c}\geqslant\sqrt{3}$．所以
$3+t^4=3+\dfrac{t^4}{3}+\dfrac{t^4}{3}+\dfrac{t^4}{3}\ge4\cdot\sqrt[4]{3\cdot\left(\dfrac{t^4}{3}\right)^3}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}t^3\geqslant\dfrac{4}{\sqrt{3}}\cdot t\cdot(\sqrt{3})^2=4\sqrt{3}t.$
不等式 ③ 成立，从而原不等式成立．
易知 $t=\sqrt{a+b+c}\geqslant\sqrt{3}$．所以
$3+t^4=3+\dfrac{t^4}{3}+\dfrac{t^4}{3}+\dfrac{t^4}{3}\ge4\cdot\sqrt[4]{3\cdot\left(\dfrac{t^4}{3}\right)^3}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}t^3\geqslant\dfrac{4}{\sqrt{3}}\cdot t\cdot(\sqrt{3})^2=4\sqrt{3}t.$
不等式 ③ 成立，从而原不等式成立．
答案
解析
备注
