设 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 都是正数，求证：$$(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)^2>4(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_1).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由轮换对称式的性质，不妨设 $x_1=\min\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}$，
记 $x_{5+k}=x_k,k=1,2,3,4,5$．由于
$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^5{x_k}\right)^2-4\displaystyle\sum_{k=1}^5{x_kx_{k+1}}=\displaystyle\sum_{k=1}^5x_k^2-2\displaystyle\sum_{k=1}^5x_kx_{k+1}+2\displaystyle\sum_{k=1}^5x_kx_{k+2}\\
=(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2-4x_1x_5+4x_1x_4+4x_2x_5\\
=(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2+4(x_2-x_1)x_5+4x_1x_4>0$，
所以原不等式成立．
记 $x_{5+k}=x_k,k=1,2,3,4,5$．由于
$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^5{x_k}\right)^2-4\displaystyle\sum_{k=1}^5{x_kx_{k+1}}=\displaystyle\sum_{k=1}^5x_k^2-2\displaystyle\sum_{k=1}^5x_kx_{k+1}+2\displaystyle\sum_{k=1}^5x_kx_{k+2}\\
=(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2-4x_1x_5+4x_1x_4+4x_2x_5\\
=(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2+4(x_2-x_1)x_5+4x_1x_4>0$，
所以原不等式成立．
答案
解析
备注
