解不等式 $\dfrac{7x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{2-2x^2}{1+x^2}>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $1+x^2>0$，原不等式可以化为 $7x\sqrt{1+x^2}>2x^2-2$．
（1）当 $x\ge0$ 时，因为 $7x\sqrt{1+x^2}\geqslant 7x\cdot x\ge2x^2>2x^2-2$，所以原不等式成立．
（2）当 $x<0$ 时，原不等式等价于 $\begin{cases}
&x<0\\
&2x^2-2<0\\
&(7x\sqrt{1+x^2})^2<(2x^2-2)^2\\
\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}
&-1<x<0\\
&45x^4+57x^2-4<0\\
\end{cases}$
解得 $(3x^2+4)(15x^2-1)<0$，即 $15x^2-1<0$，所以 $-\dfrac{\sqrt{15}}{15}<x<\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．
此时，原不等式的解为 $-\dfrac{\sqrt{15}}{15}<x<0$．
综上所述，不等式的解集为 $\{x|x>-\dfrac{\sqrt{15}}{15}\}$．
（1）当 $x\ge0$ 时，因为 $7x\sqrt{1+x^2}\geqslant 7x\cdot x\ge2x^2>2x^2-2$，所以原不等式成立．
（2）当 $x<0$ 时，原不等式等价于 $\begin{cases}
&x<0\\
&2x^2-2<0\\
&(7x\sqrt{1+x^2})^2<(2x^2-2)^2\\
\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}
&-1<x<0\\
&45x^4+57x^2-4<0\\
\end{cases}$
解得 $(3x^2+4)(15x^2-1)<0$，即 $15x^2-1<0$，所以 $-\dfrac{\sqrt{15}}{15}<x<\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．
此时，原不等式的解为 $-\dfrac{\sqrt{15}}{15}<x<0$．
综上所述，不等式的解集为 $\{x|x>-\dfrac{\sqrt{15}}{15}\}$．
答案
解析
备注
