求实数 $x,y$，使得 $\begin{cases}
4^{-x}+27^{-y}=\dfrac{5}{6}\\
\log_{27}y-\log_4x\geqslant\dfrac{1}{6}\\
27^y-4^x\le1\\
\end{cases}$ 成立．
4^{-x}+27^{-y}=\dfrac{5}{6}\\
\log_{27}y-\log_4x\geqslant\dfrac{1}{6}\\
27^y-4^x\le1\\
\end{cases}$ 成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $4^x=a,27^y=b,a,b>0$，则 $\begin{cases}
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{6}\\
b-a\le1.
\end{cases}$
由第一个式子可得 $b=\dfrac{6a}{5a-6},5a-6>0$，代入第二个式子可得 $\dfrac{6a}{5a-6}-a\le1$，即 $\dfrac{5a^2-7a-6}{5a-6}\ge0$．解得 $a\ge2$．即 $4^x\ge2$，解得 $x\geqslant\dfrac{1}{2}$．
在由第一个式子可得 $a=\dfrac{6b}{5b-6},5b-6>0$．代入第二式子得 $b-\dfrac{6b}{5b-6}\le1$，即 $5b^2-17b+6\le0$，解得 $\dfrac{2}{5}\leqslant b\le3$．所以 $\log_{27}\dfrac{2}{5}\leqslant y\leqslant\dfrac{1}{3}$．
又 $\log_{27}y-\log_4x\leqslant\dfrac{1}{6}$，所以 $\log_{27}y+\dfrac{1}{3}\geqslant\log_4x+\dfrac{1}{2}$，由此可得 $\log_{27}3y\geqslant\log_42x$．而 $x\leqslant\dfrac{1}{2},y\leqslant\dfrac{1}{3}$，所以 $\log_4{2x}\ge0,\log_{27}3y\le0$，故当且仅当 $x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}$ 时满足 $\log_{27}y-\log_4x\geqslant\dfrac{1}{6}$．
综上所述，$x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}$ 是唯一解．
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{6}\\
b-a\le1.
\end{cases}$
由第一个式子可得 $b=\dfrac{6a}{5a-6},5a-6>0$，代入第二个式子可得 $\dfrac{6a}{5a-6}-a\le1$，即 $\dfrac{5a^2-7a-6}{5a-6}\ge0$．解得 $a\ge2$．即 $4^x\ge2$，解得 $x\geqslant\dfrac{1}{2}$．
在由第一个式子可得 $a=\dfrac{6b}{5b-6},5b-6>0$．代入第二式子得 $b-\dfrac{6b}{5b-6}\le1$，即 $5b^2-17b+6\le0$，解得 $\dfrac{2}{5}\leqslant b\le3$．所以 $\log_{27}\dfrac{2}{5}\leqslant y\leqslant\dfrac{1}{3}$．
又 $\log_{27}y-\log_4x\leqslant\dfrac{1}{6}$，所以 $\log_{27}y+\dfrac{1}{3}\geqslant\log_4x+\dfrac{1}{2}$，由此可得 $\log_{27}3y\geqslant\log_42x$．而 $x\leqslant\dfrac{1}{2},y\leqslant\dfrac{1}{3}$，所以 $\log_4{2x}\ge0,\log_{27}3y\le0$，故当且仅当 $x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}$ 时满足 $\log_{27}y-\log_4x\geqslant\dfrac{1}{6}$．
综上所述，$x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{3}$ 是唯一解．
答案
解析
备注
