解不等式 $|\log_2x-3|+|2^x-8|\ge9$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然 $x>0$．分别令 $|\log_2x-3|=0,|2^x-8|$ 的零点分别为 $x=8,x=3$．故可分别在区间 $x\in(0,3],(3,8],(8,+\infty)$ 上讨论．
（1）当 $x\in(0,3]$ 时，原不等式可化为 $3-\log_2x+8-2^x\ge9$，即 $2\ge2^x+\log_2x$．
记 $f(x)=2^x+\log_2x$，易知 $f(x)$ 是 $(0,3]$ 上的增函数，且 $f(1)=2$．因此，此时原不等式的解为 $(0,1]$．
（2）当 $x\in(3,8]$ 时，原不等式可化为 $3-\log_2x+2^x-8\ge9$，即 $2^x\ge14+\log_2x$．
设函数 $y=2^x,y=14+\log_2x$，在同一坐标系作出它们的图象，它们有两个交点，其中一个交点为 $(4,16)$，当 $x\ge4$ 时，函数 $y=2^x$ 的图象在 $y=14+\log_2x上方$．因此，此时原不等式的解为 $[4,8]$．
（3）当 $x\in(8,+\infty)$ 时，原不等式可化为 $\log_2x-3+2^x-8\ge9$，即 $2^x+\log_2x\ge20$．
记 $h(x)=2^x+\log_2x$，易知 $h(x)$ 是 $[8,+\infty)$ 上的增函数，且 $h(8)=259>20$．因此，此时原不等式的解为 $(8,+\infty)$．
综上，原不等式的解集为 $\{x|0<x\le1\lor x\ge4\}$．
（1）当 $x\in(0,3]$ 时，原不等式可化为 $3-\log_2x+8-2^x\ge9$，即 $2\ge2^x+\log_2x$．
记 $f(x)=2^x+\log_2x$，易知 $f(x)$ 是 $(0,3]$ 上的增函数，且 $f(1)=2$．因此，此时原不等式的解为 $(0,1]$．
（2）当 $x\in(3,8]$ 时，原不等式可化为 $3-\log_2x+2^x-8\ge9$，即 $2^x\ge14+\log_2x$．
设函数 $y=2^x,y=14+\log_2x$，在同一坐标系作出它们的图象，它们有两个交点，其中一个交点为 $(4,16)$，当 $x\ge4$ 时，函数 $y=2^x$ 的图象在 $y=14+\log_2x上方$．因此，此时原不等式的解为 $[4,8]$．
（3）当 $x\in(8,+\infty)$ 时，原不等式可化为 $\log_2x-3+2^x-8\ge9$，即 $2^x+\log_2x\ge20$．
记 $h(x)=2^x+\log_2x$，易知 $h(x)$ 是 $[8,+\infty)$ 上的增函数，且 $h(8)=259>20$．因此，此时原不等式的解为 $(8,+\infty)$．
综上，原不等式的解集为 $\{x|0<x\le1\lor x\ge4\}$．
答案
解析
备注
