若不等式 $\dfrac{x^2-8x+20}{mx^2-2mx+2m-4}<0$ 的解集为 $\mathbb{R}$，求实数 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x^2-8x+20=(x-4)^2+4>0$，所以问题的条件等价于不等式$$mx^2-2mx+2m-4<0$$的解集为 $\mathbb{R}$．
当 $m=0$ 时，上式子变为 $-4<0$，其解集为 $\mathbb{R}$．
当 $m\not=0$ 时，上式为二次不等式，其解集为 $\mathbb{R}$ 的充要条件是 $\begin{cases}
m<0\\
\delta=4m^2-4m(2m-4)<0.
\end{cases}$
解之，得 $m<0$．
综上，所求 $m$ 的范围是 $\{m|m\le0\}$．
当 $m=0$ 时，上式子变为 $-4<0$，其解集为 $\mathbb{R}$．
当 $m\not=0$ 时，上式为二次不等式，其解集为 $\mathbb{R}$ 的充要条件是 $\begin{cases}
m<0\\
\delta=4m^2-4m(2m-4)<0.
\end{cases}$
解之，得 $m<0$．
综上，所求 $m$ 的范围是 $\{m|m\le0\}$．
答案
解析
备注
