设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，当 $x>0$ 时，有 $f(x)>1$，且对任意的 $x,y\in\mathbb{R}$，有 $f(x+y)=f(x)f(y)$．解不等式 $f(x)\leqslant\dfrac{1}{f(x+y)}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $f(x)=f(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2})=f^2{\dfrac{x}{2}}\ge0$，若存在 $x_0\in\mathbb{R}$，使得 $f(x_0)=0$，则对任意实数 $x$，有 $f(x)=f(x_0+x-x_0)=f(x_0)f(x-x_0)=0$，与题目条件矛盾，故 $f(x)>0$．
在 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 中，令 $x=y=0$，有 $f(0)=f^2(0)$．由于 $f(0)>0$，故 $f(0)=1$．
下面证明 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的增函数．
设 $x_2>x_1$，则 $x_2-x_1>0$．故 $f(x_2-x_1)>1$．于是 $f(x_1)f(x_2-x_1)>f(x_1)$，即 $f(x_2)=f(x_1+x_2-x_1)=f(x_1)f(x_2-x_1)>f(x_1)$．
所以 $f(x)$ 为 $bb{R}$ 上的增函数．
由 $f(x)>0$ 及 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的增函数有 $f(x)\leqslant\dfrac{1}{f(x+1)}\Leftrightarrow f(x)f(x+1)\le1\Leftrightarrow f(2x+1)\leqslant f(0)\Leftrightarrow 2x+1\le0.$
解这个不等式可得解集为 $\{x|x\in\mathbb{R},x\leqslant-\dfrac{1}{2}\}$．
在 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 中，令 $x=y=0$，有 $f(0)=f^2(0)$．由于 $f(0)>0$，故 $f(0)=1$．
下面证明 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的增函数．
设 $x_2>x_1$，则 $x_2-x_1>0$．故 $f(x_2-x_1)>1$．于是 $f(x_1)f(x_2-x_1)>f(x_1)$，即 $f(x_2)=f(x_1+x_2-x_1)=f(x_1)f(x_2-x_1)>f(x_1)$．
所以 $f(x)$ 为 $bb{R}$ 上的增函数．
由 $f(x)>0$ 及 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的增函数有 $f(x)\leqslant\dfrac{1}{f(x+1)}\Leftrightarrow f(x)f(x+1)\le1\Leftrightarrow f(2x+1)\leqslant f(0)\Leftrightarrow 2x+1\le0.$
解这个不等式可得解集为 $\{x|x\in\mathbb{R},x\leqslant-\dfrac{1}{2}\}$．
答案
解析
备注
