独立掷 $n$ 次硬币（$n$ 为正整数），每一次掷硬币只出现正面和反面，$a(n)$ 表示掷 $n$ 次硬币出现正面的次数恰好是 $3$ 的倍数的情况总数，$b(n)$ 表示掷 $n$ 次硬币出现正面的次数恰好 是 $6$ 的倍数情况总数．
（1）求 $a(2016)$，$b(2016)$；
（2）当 $n\le2016$ 时，求使得 $2b(n)>a(n)$ 的正整数 $n$ 的个数．
（1）求 $a(2016)$，$b(2016)$；
（2）当 $n\le2016$ 时，求使得 $2b(n)>a(n)$ 的正整数 $n$ 的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $1$ 的 $k$ 次方根为 $1,w,w^2,\cdots,w^{k-1}$，其中 $\arg w=\dfrac{2\pi}{k}$．
考虑到 $f(x)=(1+x)^n={\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1x+{\rm C}_n^2x^2+\cdots+{\rm C}_n^nx^n$．
则 $f(1)+f(w)+f(w^2)+\cdots+f(w^{k-1})=k({\rm C}_n^0+{\rm C}_n^k+{\rm C}_n^{2k}+\cdots)$
则 $a(2016)=\dfrac{1}{3}[2^{2016}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}]=\dfrac{1}{3}(2^{2016}+2)$
则 $b(2016)=\dfrac{1}{6}[2^{2016}+(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}]\\
=\dfrac{1}{6}(2^{2016}+2\times3^{1008}+2)$
（2）$a(n)=\dfrac{1}{3}[2^{n}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}]$
$b(n)=\dfrac{1}{6}[2^{n}+(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}]$
$2b(n)>a(n)\Leftrightarrow(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}>0$
根据三角形式，即 $\cos\dfrac{n\pi}{6}>0$，即 $n\equiv0,\pm1,\pm2\pmod{12}$
所求个数为 $840$．
考虑到 $f(x)=(1+x)^n={\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1x+{\rm C}_n^2x^2+\cdots+{\rm C}_n^nx^n$．
则 $f(1)+f(w)+f(w^2)+\cdots+f(w^{k-1})=k({\rm C}_n^0+{\rm C}_n^k+{\rm C}_n^{2k}+\cdots)$
则 $a(2016)=\dfrac{1}{3}[2^{2016}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}]=\dfrac{1}{3}(2^{2016}+2)$
则 $b(2016)=\dfrac{1}{6}[2^{2016}+(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}]\\
=\dfrac{1}{6}(2^{2016}+2\times3^{1008}+2)$
（2）$a(n)=\dfrac{1}{3}[2^{n}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}]$
$b(n)=\dfrac{1}{6}[2^{n}+(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}]$
$2b(n)>a(n)\Leftrightarrow(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}>0$
根据三角形式，即 $\cos\dfrac{n\pi}{6}>0$，即 $n\equiv0,\pm1,\pm2\pmod{12}$
所求个数为 $840$．
答案
解析
备注
