设正实数 $a,b,c$，满足 $a\leqslant b\leqslant c$，且 $a^2+b^2+c^2=9$，证明：$abc+1>3a$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设正数 $d$ 满足 $a^2+d^2=b^2+c^2$，容易得到 $d\geqslant c\geqslant b\geqslant a$．
$a^2d^2-b^2c^2=a^2(b^2+c^2-a^2)-b^2c^2=-(a^2-b^2)(a^2-c^2)\le0$．
即 $ad\leqslant bc$，进而 $a^2d+1\leqslant abc+1$
原命题成立的充分条件为"正实数 $a,d$，满足 $a\leqslant d$，且 $2a^2+d^2=9$，则 $a^2d+1>3a$ "
容易得到 $a\leqslant\sqrt{3},d\geqslant\sqrt{3}$．
$a^2d+1\ge2\sqr$．
$a^2d^2-b^2c^2=a^2(b^2+c^2-a^2)-b^2c^2=-(a^2-b^2)(a^2-c^2)\le0$．
即 $ad\leqslant bc$，进而 $a^2d+1\leqslant abc+1$
原命题成立的充分条件为"正实数 $a,d$，满足 $a\leqslant d$，且 $2a^2+d^2=9$，则 $a^2d+1>3a$ "
容易得到 $a\leqslant\sqrt{3},d\geqslant\sqrt{3}$．
$a^2d+1\ge2\sqr$．
答案
解析
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