设直线 $l$ 与椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 切于点 $P$，与圆 $C_2:x^2+y^2=16$ 交于 $A,B$ 两点，圆在 $A,B$ 处的切线交于 $Q$ 点，（$O$ 为原点），求 $\triangle{OPQ}$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P(x_0,y_0)$，则直线 $l:\dfrac{x_0x}{8}+\dfrac{y_0y}{4}=1$，由 $Q$ 与直线 $l$ 关于圆 $C_2$ 为极点极线关系，
可得 $Q(2x_0,4y_0)$，
则 $S_{\triangle{OPQ}}=\dfrac{1}{2}|4x_0y_0-2x_0y_0|=|x_0y_0|\leqslant{2\sqrt{2}}$．
等号成立当且仅当 $x_0^2=4,y_0^2=2$．
可得 $Q(2x_0,4y_0)$，
则 $S_{\triangle{OPQ}}=\dfrac{1}{2}|4x_0y_0-2x_0y_0|=|x_0y_0|\leqslant{2\sqrt{2}}$．
等号成立当且仅当 $x_0^2=4,y_0^2=2$．
答案
解析
备注
