在 $\triangle ABC$ 中，$2c\geqslant a>b>c$，我们用剪刀将三角形截成面积相等的两部分，截痕为线段，考虑截痕最短的情况，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
假设线段的两个端点 $X,Y$ 分别在 $a$ 和 $b$ 上，且 $CX=x$，$CY=y$．
则 $2xy=ab$
$XY^2=x^2+y^2-2xy\cos C\geqslant 2xy\left(1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\dfrac{\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2}$．
根据轮换性可知另外两种可能性线段平方的可能值为 $\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2}$，$\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2}$．
综合比较，答案选 $C$．
则 $2xy=ab$
$XY^2=x^2+y^2-2xy\cos C\geqslant 2xy\left(1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\dfrac{\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2}$．
根据轮换性可知另外两种可能性线段平方的可能值为 $\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2}$，$\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2}$．
综合比较，答案选 $C$．
题目
答案
解析
备注
