设已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正实数，且对于任意满足 $m+n=p+q$ 的正整数 $m,n,p,q$ 均有 $\frac{1-a_m-a_n}{a_m a_n}=\frac{1-a_p-a_q}{a_pa_q}$，则下列叙述中正确的有 \((\qquad)\)
① 若 $a_1=1$，则 $a_{2020}=1$
② 若 $a_1=\frac{4}{3}$，$a_2$ 可能为 $\frac{3}{2}$
③ 若 $a_1=\frac{3}{5}$，$a_{2020}$ 可能为 $\frac{2}{3}$
④ 若 $a_1=\frac{3}{5}$，$a_{2019}$ 可能为 $4$
① 若 $a_1=1$，则 $a_{2020}=1$
② 若 $a_1=\frac{4}{3}$，$a_2$ 可能为 $\frac{3}{2}$
③ 若 $a_1=\frac{3}{5}$，$a_{2020}$ 可能为 $\frac{2}{3}$
④ 若 $a_1=\frac{3}{5}$，$a_{2019}$ 可能为 $4$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
两边均加上 $1$，$\dfrac{\left(1-a_m\right)\left(1-a_n\right)}{a_ma_n}=\dfrac{\left(1-a_p\right)\left(1-a_q\right)}{a_pa_q}$．
对于 ①，$\dfrac{\left(1-a_1\right)\left(1-a_{2n-1}\right)}{a_1a_{2n-1}}=\dfrac{\left(1-a_n\right)^2}{a_n^2}$，数列各项均为 $1$，正确．
对于 ②③④，由上面可知 $\dfrac{1-a_n}{a_n}$ 为等比数列，由于 $a_n>0$，
则数列 $\dfrac{1-a_n}{a_n}>-1$．设 $b_n=\dfrac{1-a_n}{a_n}$．
② 中，$b_1=-\dfrac14$，$b_2=-\dfrac13$，不能保证 $a_n>-1$．
③ 中，$b_1=\dfrac23$，$b_{2020}=\dfrac12$．
④ 中，$b_1=\dfrac23$，$b_{2019}=-\dfrac34$，不可能．
对于 ①，$\dfrac{\left(1-a_1\right)\left(1-a_{2n-1}\right)}{a_1a_{2n-1}}=\dfrac{\left(1-a_n\right)^2}{a_n^2}$，数列各项均为 $1$，正确．
对于 ②③④，由上面可知 $\dfrac{1-a_n}{a_n}$ 为等比数列，由于 $a_n>0$，
则数列 $\dfrac{1-a_n}{a_n}>-1$．设 $b_n=\dfrac{1-a_n}{a_n}$．
② 中，$b_1=-\dfrac14$，$b_2=-\dfrac13$，不能保证 $a_n>-1$．
③ 中，$b_1=\dfrac23$，$b_{2020}=\dfrac12$．
④ 中，$b_1=\dfrac23$，$b_{2019}=-\dfrac34$，不可能．
题目
答案
解析
备注
