设 $f\left(a,b,c,d\right)=a+ab+abc+abcd$，结合 $a,b,c,d\geqslant 0$．
轮换 $a,b,c,d$ 的值会发现，当 $f\left(a,b,c,d\right)$ 取得最大时，$a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$．
当 $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$ 时，$c\leqslant 1$．
此时 $f\left(a,b,c+d,0\right)=a+ab+abc+abd\geqslant a+ab+abc+abcd=f\left(a,b,c,d\right)$．
故当 $f\left(a,b,c,d\right)$ 最大时，可取 $d=0$．
问题转化为 $a+b+c=3$，$a,b,c\geqslant 0$ 求 $g\left(a,b,c\right)=a+ab+abc$ 的最大值．
和前面一样，取得最大值需要 $a\geqslant b\geqslant c$．
此时 $g\left(a,b+c,0\right)=a+ab+ac$，$g\left(a+c,b,0\right)=a+ab+bc+c$．
接下来分析大小，
$ab\leqslant \left(3-b\right)b$，又 $b+1-b\left(3-b\right)=\left(b-1\right)^2\geqslant 0$．即 $ab\leqslant 1+b$．
故 $g\left(a+c,b,0\right)\geqslant g\left(a,b,c\right)$．
故命题转化为 $a+b=3$，求 $a+ab$ 的最大值，根据二次函数简单知识答案为 $4$，
此时 $a=2,b=1$．
综上所述，原式最大值为 $4$，取等可取 $a=2,b=1,c=0,d=0$．