对于任意的 $n\in{\rm{N}^{\ast}}$，求证 $\left(\dfrac{1}{n}\right)^n+\left(\dfrac{2}{n}\right)^n+\cdots+\left(\dfrac{n}{n}\right)^n<\dfrac{{\rm{e}}}{{\rm{e}}-1}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$\dfrac{k}{n}=1-\dfrac{n-k}{n}<{\rm{e}}^{-\frac{n-k}{n}}$，
$\left(\dfrac{k}{n}\right)^n<{\rm{e}}^{-(n-k)}$，
$LHS<{\rm{e}}^{-(n-1)}+{\rm{e}}^{-(n-2)}+\cdots+{\rm{e}}^{0}
<\dfrac{{\rm{e}}}{{\rm{e}}-1}$
$\left(\dfrac{k}{n}\right)^n<{\rm{e}}^{-(n-k)}$，
$LHS<{\rm{e}}^{-(n-1)}+{\rm{e}}^{-(n-2)}+\cdots+{\rm{e}}^{0}
<\dfrac{{\rm{e}}}{{\rm{e}}-1}$
答案
解析
备注
