题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)$． 问题1 若 $a=3$，求 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 略 解析1 $f^{\prime}(x)=x^2-6x-3$<br/>故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,3-2\sqrt{3})$ 和 $(3+2\sqrt{3},+\infty)$，单调递减区间为 $(3-2\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$ 备注1 问题2 证明：$f(x)$ 只有一个零点． 答案2 略 解析2 $f^{\prime}(x)=x^2-2ax-a$，<br/>若 $f^{\prime}(x)\ge0$ 成立，即 $a\in[-1,0]$，命题显然成立．<br/>若 $f^{\prime}(x)=0$ 有两个不相等的实数根，设为 $x_1,x_2$，<br/>我们只要证明 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 同号即可．<br/>此时 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{x^2(x^2+x+1)}{2x+1}=-\dfrac{x^2(x^2+2x+3)}{3(2x+1)}$，显然同号． 备注2