设 $\left[x\right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，例如 $\left[2.5\right]=2$，$\left[-2.5\right]=-3$，$\left[4\right]=4$．设 $f\left(n\right)=\left[\sqrt n\right]+\left[\sqrt[3]{n}\right]+\cdots+\left[\sqrt[n]{n}\right]$，$g\left(n\right)=\left[\log_2n\right]+\left[\log_3n\right]+\cdots+\left[\log_nn\right]$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $n+1=k^t$，其中 $k,t\in\mathbb{N}^{\ast}$，且 $t$ 最大．
如 $125=5^3$，$64=2^6$，$18=18^1$．
若 $t=1$，容易得到 $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=g\left(n+1\right)-g\left(n\right)=1$．
若 $t\geqslant 2$．
$f\left(n+1\right)$ 相对于 $f\left(n\right)$ 的增长量，包括 $\left[\sqrt[n+1]{n+1}\right]=1$ 这一项．还包括 $t$ 的其他因数那么多项，共计的增长量为 $t$ 的因数个数．
$g\left(n+1\right)$ 的增长量除了 $\left[\log_{n+1}\left(n+1\right)\right]=1$ 这一项，还包括底数为 $k^{t^\prime}$，其中 $t^\prime$ 为 $t$ 的非 $1$ 因数．总计的增长量为 $t$ 的因数．
综上 $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=g\left(n+1\right)-g\left(n\right)$ 均等于 $t$ 的因数个数．
结合 $f\left(2\right)=g\left(2\right)=1$．选择 $A$
如 $125=5^3$，$64=2^6$，$18=18^1$．
若 $t=1$，容易得到 $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=g\left(n+1\right)-g\left(n\right)=1$．
若 $t\geqslant 2$．
$f\left(n+1\right)$ 相对于 $f\left(n\right)$ 的增长量，包括 $\left[\sqrt[n+1]{n+1}\right]=1$ 这一项．还包括 $t$ 的其他因数那么多项，共计的增长量为 $t$ 的因数个数．
$g\left(n+1\right)$ 的增长量除了 $\left[\log_{n+1}\left(n+1\right)\right]=1$ 这一项，还包括底数为 $k^{t^\prime}$，其中 $t^\prime$ 为 $t$ 的非 $1$ 因数．总计的增长量为 $t$ 的因数．
综上 $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=g\left(n+1\right)-g\left(n\right)$ 均等于 $t$ 的因数个数．
结合 $f\left(2\right)=g\left(2\right)=1$．选择 $A$
题目
答案
解析
备注
