已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，且 $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB} +5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} $，求 $ \cos\angle BAC$ 的值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的外接圆半径 $r=1$，由已知得 $3\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{OB}-5\overrightarrow{OC}$，两边平方得 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-\dfrac{4}{5}$．同理可得 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=-\dfrac{3}{5}$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$．所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}^{2}=\dfrac{4}{5}$ 故有 $|\overrightarrow{AB}|^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}=2$，$|\overrightarrow{AC}|^{2}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})^{2}=2-2\cdot(-\dfrac{3}{5})=\dfrac{16}{5}$．所以 $\cos\angle BAC=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{\dfrac{16}{5}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$．
答案
解析
备注
