题目 已知将函数 $g(x)=\cos x$ 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位长度得到函数 $y=f(x)$ 的图像，且关于 $x$ 的方程 $f(x)+g(x)=m$ 在 $[0,2\pi)$ 内有两个不同的解 $\alpha$、$\beta$． 问题1 求满足题意的实数 $m$ 的取值范围 答案1 $(-\sqrt{5},\sqrt{5})$ 解析1 将 $g(x)=\cos x$ 的图像的所有点的纵坐标伸长为原来的 $2$ 倍（横坐标不变），得到 $y=2\cos x$ 的图像．再将 $y=2\cos x$ 的图像向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位长度后，得到 $y=2\cos(x-\dfrac{\pi}{2})$ 的图像．故 $f(x)=2\sin x,f(x)+g(x)=2\sin x+\cos x=\sqrt{5}\sin (x+\varphi)$．（其中 $\sin \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{5}},\cos\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$）．依题意 $\sin (x+\varphi)=\dfrac{m}{\sqrt{5}}$ 在区间 $[0,2\pi)$ 内有两个不同的解 $\alpha$、$\beta$，当且仅当 $|\dfrac{m}{\sqrt{5}}|<1$．故 $m$ 的取值范围是 $(-\sqrt{5},\sqrt{5})$． 备注1 问题2 求 $\cos (\alpha-\beta)$（用含 $m$ 的式子表示） 答案2 $\cos (\alpha-\beta)=\dfrac{2m^{2}}{5}-1$ 解析2 因为 $\alpha$、$\beta$ 是方程 $\sqrt{5}\sin (x+\varphi)=m$ 在 $[0,2\pi)$ 内的两个不同的解，所以 $\sin(\alpha+\varphi)=\dfrac{m}{\sqrt{5}},\sin(\beta+\varphi)=\dfrac{m}{\sqrt{5}}$．当 $1\geqslant m<\sqrt{5}$ 时，$\alpha+\beta=2(\dfrac{\pi}{2}-\varphi)$，即 $\alpha -\beta=\pi-2(\beta+\varphi)$．当 $\sqrt{5}< m<1$ 时，$\alpha+\beta=2(\dfrac{3\pi}{2}-\varphi)$，即 $\alpha -\beta=3\pi-2(\beta+\varphi)$．所以 $\cos(\alpha-\beta)=-\cos 2(\beta+\varphi)=2\sin^{2}(\beta+\varphi)-1=2(\dfrac{m}{\sqrt{5}})^{2}-1=\dfrac{2m^2}{5}-1$ 备注2