已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+a^{2}_{n}(n\in\mathbf N^{\ast})$．记 $S_{n}=\dfrac{1}{(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots(1+a_{n})}$，$T_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+a_{k}}$，求 $S_{n}+T_{n}$ 的值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
因为 ${{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}+a_{n}^{2}$，所以 ${{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}\left(1+{{a}_{n}} \right)$．所以 $\dfrac{1}{1+{{a}_{n}}}\text{=}\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}$，故 ${{S}_{n}}\text{=}\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\cdot\dfrac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}\cdot \dfrac{{{a}_{3}}}{{{a}_{4}}}\cdot \cdots \cdot\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{n+1}}}=\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}$．又 ${{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}\left(1+{{a}_{n}} \right)$，所以 $\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}\left(1+{{a}_{n}} \right)}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}}-\dfrac{1}{1+{{a}_{n}}}$，所以 $\dfrac{1}{1+{{a}_{n}}}\text{=}\dfrac{1}{{{a}_{n}}}-\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}$，故 $\displaystyle {{T}_{n}}\text{=}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\dfrac{1}{1+{{a}_{k}}}}\text{=}\dfrac{1}{{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}-\dfrac{1}{{{a}_{3}}}+\cdots+\dfrac{1}{{{a}_{n}}}-\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}\text{=}\dfrac{1}{{{a}_{1}}}-\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}\text{=}1-\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}$．因此 $S_{n}+T_{n}=1$．
答案
解析
备注
