求函数 $y=\dfrac{x-x^3}{(1+x^2)^2}$ 的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
最大值：$\dfrac{1}{4}$，最小值：$-\dfrac{1}{4}$
【解析】
已知函数的定义域为全体实数，由于 $y=\dfrac{x-x^3}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{1+x^2}\cdot\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$，令 $x=\tan\theta$，则 $\dfrac{2x}{1+x^2}=\sin 2\theta$，$\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\cos2\theta$，所以 $y=\dfrac{1}{2}\sin2\theta\cos2\theta=\dfrac{1}{4}\sin4\theta$．当 $4\theta=2k\pi\pm\dfrac{\pi}{2}$ 时，函数 $y$ 分别取得最大值 $\dfrac{1}{4}$ 和最小值 $-\dfrac{1}{4}$．
答案
解析
备注
