已知函数 $f(x)=4\cos x\cdot\sin(x+\dfrac{7\pi}{6})+a$ 的最大值为 $2$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
-
求 $a$ 的值及 $f(x)$ 的最小正周期标注答案$\pi$解析$\begin{align}
& f\left( x \right)=4\cos x\cdot \sin \left( x+\dfrac{7\pi }{6}\right)+a=4\cos x\cdot \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x\right)+a \\
& =-2\sqrt{3}\sin x\cos x-2{{\cos}^{2}}x+1-1+a \\
& =-\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x-1+a \\
& -2\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{6}\right)-1+a \\
\end{align}$．因此，当 $\sin(2x+\dfrac{\pi}{6})=-1$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $2-1+a=1+a$．又因为 $f(x)$ 的最大值为 $2$，所以 $1+a=2$，即 $a=1$．$f(x)$ 的最小正周期为 $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$． -
求 $f(x)$ 的单调递减区间标注答案$\left[-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\dfrac{\pi}{6}+k\pi\right],k\in\mathbf Z$解析由（1）得 $f(x)=-2\sin(2x+\dfrac{\pi}{6})$，令 $2x+\dfrac{\pi}{6}\in\left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right],k\in\mathbf Z$．得 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\dfrac{\pi}{6}+k\pi\right],k\in\mathbf Z$．因此，$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\dfrac{\pi}{6}+k\pi\right],k\in\mathbf Z$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
